摘要：基于文化背景的差异，中国与西方对黄金分割的理解、推理与研究风格迥异.明末《几何原本》把黄金分割介绍到中国，其公理化的逻辑推理体系，使得中算家在耳目一新的同时，又不甚理解.在浓郁的中算传统影响下，充满功用主义的中算家首先考虑的是黄金分割如何使用.同时，在对黄金分割研究的推理论证过程中，经验与演绎也交相辉映.通过展现清初中算家对黄金分割多样的推理论证，呈现西方逻辑演绎体系逐渐被中算家所接受的过程.
关键词：黄金分割;理分中末线;逻辑推理;功用传统
明末西学东渐，欧洲科学技术被翻译介绍到中国，在西方数学中颇有特色的黄金分割①也随之传入.1607年《几何原本》出版，称黄金分割为理分中末线，由此中算家得以了解这一数学知识.《几何原本》卷六“界说”三称：“理分中末线者，一线两分之，其全与大分之比例，若大分与小分之比例”“其分法，见本卷三十题，而与二卷十一题理同名异”[1].据此可知《几何原本》六卷三十题介绍了作黄金分割的原理，引用二卷十一题的结论进行论证，而二卷十一题又借助二卷第六题相关内容.在典型的逻辑演绎推理体系下，《几何原本》中对黄金分割法、理都有清楚的介绍.
明末清初的历算学家是有可能通过《几何原本》了解到西方演绎数学的真谛，但事实上徐光启所寄往的“百年之后必人人习之”的局面并没有如期实现[2].由于中算传统推理模式与西方数学逻辑演绎存在较大区别，清初中算家对《几何原本》中黄金分割及其推理方法不以为然.李子金(1621-1701)批评称：“《几何原本》六卷第三十题求理分中末线，止言末率已成之形，而不言分截之法.二卷十一题虽言分截之法，而不言其理”[3].梅文鼎也对《几何原本》中的推论十分不满，他称：“理分中末线求法见本卷三十题，而与二卷十一题理同.至二卷十一题但云无数可解，详见九卷，其义皆引而未发”[4].于是，李子金、梅文鼎、杨作枚等清初历算学家结合自身情况对黄金分割问题进行推理论证，展现出中算特有的论证模式.本文即是对此历史进程做一研究，从而呈现西方逻辑演绎体系逐渐被中算家所接受的过程.
1李子金的“一线分身连比例”
李子金认为黄金分割实为“一线分身连比例”，解决问题的关键首先在3条线段成“连比例”，而后将连比例的3线归为一线，则可满足其定义，如此就能解决问题.他从《几何原本》三卷三十六题“从圆外一点出两直线，一切一割圆，其割圆之全线偕规外线矩内直角形与切圆线上直角方形等”得到启示，认为切割线定理中“全线乃初率，圆外线乃末率，切圆线乃中率”，满足“连比例之法”，但非“一线分身之连比例”.不过李子金认为能够满足条件的“一线”就包含在其中，且只有一条.他称：“连比例之线，不啻百于亿万，至于一线分身之连比例，于百千亿万线中止有一线，而本书不曾明言，是以不得不急为请求也.”于是李子金必然要论证这一线为何物.图1Fig.1
且看李子金的推理模式：“天地之间既有一圆，必有一切圆之线与割圆之线.其切圆之线，大于圆径者，无算也;小于圆径者，亦无算也.其割圆之线，在圆心之左者，无算也;在圆心之右者，亦无算也.其为连比例之线，盖有不可胜穷者矣.而切圆之线与圆径相等者，唯有一线割圆之线，平分圆心者，亦唯有一线.苟明于此，一线之理而于一线分身连比例之法，思过半矣.”(图1)
经过一番枚举，李子金采取简单归纳法，得出千百万线中能成理分中末线的唯一一条等于直径的切线，而割线必过圆心，“其枢机只在切圆线与圆径等，割圆线必平分圆之中心耳”.这只完成了一半，由此，李子金构造了一个以圆半径为勾，股为勾二倍的勾股形，以勾股入算，“只以初率之元线为股，折半为勾，勾弦差为中率，以勾弦差减股，余为末率足矣”.
李子金对于黄金分割的阐释思路，是先从连比例入手，再寻找一线分身成连比例，最后通过建构股为勾二倍勾股形进行相关计算，整个推理论证是完整的.不过在讨论一线分身连比例之时，李子金采用简单枚举确定“一线”位置，隐然间有种“脱然贯通”的味道，这在严密的西方逻辑推理体系下是不被接受的.
2梅文鼎的“理分中末线出于勾股”
“几何即勾股”是梅文鼎主要的数学论证模式[5]，他认为：“唯理分中末线与勾股异源，今为游心与立法之初，而仍出于勾股.”[6]因此梅文鼎解决黄金分割的思路就是将其纳入勾股理论之中.在《几何通解》解《几何》二卷第十一题、六卷第三十题、四卷第十一题中，梅文鼎得出句弦和、股、句弦较为连比例，这是将理分中末线归结为勾股的关键.
如图2“句弦和较相乘即同股幂之图”所示，“癸庚弦，其幂庚乙.丙癸句，其幂丙戊.引庚甲至壬，使甲壬如癸丙，则庚壬为句弦和，丙庚原为句弦较.以较乘和，成丙壬长方，内截甲丁小长方与戊辛等.”如此，则有句弦和、股、句弦较为连比例，即若设勾股形勾为a，股为b，弦为c，则b2=(c+a)(c-a).和李子金面对的问题一样，虽然梅文鼎得到句弦和、股、句弦较为连比例，但三线必须合为一线，方才符合理分中末线的定义.梅文鼎也是借助股为勾二倍的勾股形和半径为弦长的圆来进一步论证推理. 图2 图3 Fig.2 Fig.3
在图3中，梅文鼎给出丁丙戊句股形，令丁丙弦与丁乙等(亦与丁庚等).则可以构建一系列等价条件：“丁戊句，亥戊为倍句，乙戊为句弦较，与庚亥等.戊庚为句弦和，与亥乙等.亥己为句弦和乘句弦较之积，与戊癸等.丙戊股，其幂甲丙”.由于甲丙方与亥己长方等积(戊癸同)，可知庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较.又以戊乙较减亥乙和，余亥戊倍句，折半为句(丁戊或亥丁).或戊乙较与丙戊股亦若丙戊股与庚戊和.如此一来，则不论句小股大还是句大股小，“倍句(2a)与句股较(c-a)，必为句股和(c+a)之两分线”这一结论都成立.用字母表示，即c+a=2a+(c-a).
至此，梅文鼎就可以完全用勾股来解释理分中末线，“今于句弦和全线内，取倍句如股，则先以股线为和较之中率者，今以如股之倍句当之.而倍句原系句弦和全线之大分，于是和与倍句之比例，若倍句与较，亦即为全线与大分，若大分与小分，此理分中末线所由出也.”此即在b2=(c+a)(c-a)，c+a=2a+(c-a)两式中，用2a替代b，则可以解释黄金分割原理.
梅文鼎认为黄金分割“仍出于勾股”，故寻得句弦和、股、句弦较为连比例，然后构造一股为勾二倍的勾股形，并以弦为半径做圆，推导出倍句与句股较必为句股和之两分线，从而解释黄金分割命题.梅文鼎的论证过程，较之李子金，逻辑推理更为清晰和严密，更重要的是，这一推理模式将黄金分割也纳入到勾股理论之中，令梅文鼎所提出的“几何即勾股”的数学会通模式更具说服力.
3杨作枚的出入相补
受魏荔彤之邀，杨作枚为梅文鼎整理其数学天文著作，在《解八线割圆之根》中给出了自己解释黄金分割的推理模式.杨作枚虽为梅文鼎编书，但他的论证方法与前人截然不同.“欲明理分中末线，先解方形及矩形”[7].在解释黄金分割之前，杨作枚首先证明2条引理.
一解曰(引理1)凡正方形内(如乙庚戊丙方)，依一角复作方形(如丁庚方)，以小方之各边引长之(如甲午辛壬)，即分元方戊庚为四分，小方之各边，与大方之各边，俱两两平行，其与小方丁庚相对之丁戊形，亦必正方形，左右所截之午壬甲辛二形，必皆矩形，而恒自相等.
即如图4，在正方形庚戊中，作丁庚方，将各边延长，分原方形为相对两正方形和两相等长方形.
一解曰(引理2)如图5，任设一线如甲戊，两平分之与乙，又任引长之为戊庚，(不论长短)其全线甲庚，偕引长线戊庚(即子庚)矩内形(甲子矩)，及半元线甲乙(癸丑等)上方形(癸辛方)并，成子丑壬甲罄折形，此形与半元线(乙戊)偕引长线，乙庚上之乙丙方形等.
“明上二图，可论理分中末线矣.”杨作枚的做法，如图6所示，任作甲戊线，两平分与乙，以甲戊线自之，作戊卯方，从乙平分处，向丁作乙丁线.次以甲戊引至庚，令乙庚与乙丁等，于乙庚上作乙丙方，又取庚子与戊庚等，作癸子线，分戊丁与己，则戊己为戊丁元线之大分，己丁为小分.戊己、丁己、戊丁三线成连比例.戊丁与戊己，若戊己与己丁，而戊己为中率.
4“实用”的黄金分割
与西方数学传统不同，中算家始终关注的是数学的实用价值，这是中算显著特点.同时，明朝实学之风盛行，这些影响着中算家对数学的研究.《几何原本》中称黄金分割“为用甚广，至量体，有所必需.十三卷诸题全赖之，古人目为神分线也”.明末《几何原本》只译前六卷，至于如何使用黄金分割，中算家无从得知.故梅文鼎言“故虽有此线，莫适所用”.清初中算家一方面要重构黄金分割的论证模式，另一方面更要指出黄金分割的实用价值.
李子金将黄金分割用以解决圆内接正五边、十边形画图问题.《几何原本》中介绍的作法十分不便，李子金给出了一种简单的方法，“凡作五边形宜用下章，法为简状”，这种方法即是黄金分割的应用.
“有圆，求作内切圆五边及十边形.如有甲乙丙圆，丁为心.先作甲乙过心线，次取戊丙度移于径线为戊己，次作丙己线，则丙己为甲乙丙圆五分之一，以此为度，可作内切圆五边形.丁己度可作十边形.”
李子金给出的作圆内接正五边形、正十边形的方法，与古希腊托勒枚作图法完全一致[9].薛凤祚《历学会通·正集》中求36°正弦时也用此法[10].托勒枚的方法李子金无从得知，薛凤祚也没有给出证明，故这种作法是李子金自己研究所得，难能可贵.
杨作枚也是要解决圆内接正五边、十边形边长问题，才研究了黄金分割.梅文鼎对黄金分割的研究更是如此，仅黄金分割的作法就给出了6种.这六种作法，理同形异，各有各的适用范围.例如法5可以求圆内接正五、十边形，而法6“可于平面圆器上求之”[11].他又提出5种有关黄金分割的用法，包括平分圆为五分、十分，用以量十二等面体、二十等面体以及圆灯[4]，将黄金分割应用于平面、立体几何中，极大地扩展其使用范围.而梅文鼎研究黄金分割最大的用处，恐怕在于论证理分中末线“仍出于勾股”
.传统中算的实用特点深刻地影响着清初历算学家，如何使用是他们研究黄金分割的出发点.对于有着浓厚功用传统的东方数学来说，中算家更为关注的是数学的应用性.李子金独自造出与托勒枚相同的作圆内接正五边、十边形的方法，是对《几何原本》方法的改进;梅文鼎在这方面做出了更大的成绩，将黄金分割应用于平面、立体几何中，尽显中算在应用上的优势.中算家在黄金分割应用方面做出的成绩，体现出中算传统文化内涵.
5结语
较之以前的辉煌，明代中算已经无有光彩可言.明末中算家吸取以往数学家重术不重理的教训，尤为关心数学原理.此时黄金分割传入中国，可谓适逢其时.由于中国传统数学注重算法而忽视算理，造成明代数学家对以前数学知识的无知，故明末以降，中算家更多关注数学原理，这对黄金分割也不例外.徐光启将黄金分割翻译为“理分中末线”①，较之西方，尤为强调“理”②字，体现了中算家对数学原理的迫切需要.然而基于东、西方数学传统、文化风格迥异，全盘接受西方逻辑推理体系，在有着悠久数学传统的中国行不通，李子金、梅文鼎和杨作枚皆弃西法而不用，另创新法.
李子金、梅文鼎、杨作枚的证明各有特点.李子金的论证另辟蹊径，从连比例入手解决黄金分割，观察、归纳的成分更多.梅文鼎始终坚信“几何即勾股”，通过类比将黄金分割纳入勾股理论之中.杨作枚没有强调“几何即勾股”的论调，而是将传统中算方法引入逻辑推理之中，直观性更强，推理也更具逻辑性，其方法可谓中西合璧.三人的工作，一方面给出黄金分割多种推理模式，赋予了多样化阐述，另一方面，也显现出对西方演绎体系的逐渐接受过程.东、西方数学传统相互碰撞，相互交融，使得黄金分割在清初呈现出与西方不同的道路，展现出中西数学会通颇具特点的一面.
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