摘要:金融资产价格的风险来自于自身价格的波动，而刻画资产价格波动的指标是波动率.本文以上证综合指数作为研究对象，通过广义矩估计(GMM)方法给出随机波动模型的参数估计和统计推断.借鉴无穷小生成元，条件期望算子和微分算子Taylor展开等知识，从理论上给出GMM的必要条件，即正交矩条件，进一步应用GMM方法研究随机波动率模型的参数估计，并通过应用重度抽样粒子滤波器(SIR)给出随机波动率的过滤估计值.实证结果表明，刻画上证综合指数需要引入随机波动率，同时也发现随机波动率模型能够很好地描述一些重大的经济现象.最后，根据所得参数估计结果，分析了随机波动率模型的欧式看涨期权问题.
关键词:随机波动率模型;广义矩方法;欧式看涨期权;蒙特卡洛方法
1引言
近年来，随机波动率模型在金融领域中的应用非常广泛.一方面，波动率能够描述金融资产内在的波动规律，而且也是揭示资产价格未来不确定性的重要依据.另一方面，对于标的物相应的衍生品定价，波动率对其影响是比较显著的，特别是芝加哥交易所把波动率作为一种商品进行交易.因此，研究随机波动率模型就显得尤为重要.
现代数理金融研究的分水岭是从1976年Black和Scholes[1]的工作(B-S模型)开始的，他们在一些正则性假设条件下，应用对冲方法，构建了在风险中性条件下随机微分方程和相应的衍生品定价公式.然而，理论和实证研究结果都表明在B-S模型中，波动率常数假设无法描述市场中价格的波动.事实上，应用期权价格所得隐含波动率具有微笑的性质[2]，这与常数的波动率模型不相符.因此，一些研究者考虑波动率具有随机的现象.
另一个重要的特征是杠杆效应问题，该问题是刻画收益率和波动率之间的非对称性关系.实证研究结果表明，波动率和收益之间是负相关的，隐含着当波动率增加时，相应的股票价格减少，反之当波动率减少，相应的股票价格增加[3].事实上，杠杆效应的研究可为投资者和风险管理者提供风险防范的科学依据.由于波动率是刻画风险的指标，因此对波动率的预测和度量通过杠杆效应可以很好地刻画收益率的波动情况，从而达到对风险的防范.显然，常数波动率模型是无法描述杠杆效应以及对风险进行防范.同时，Engle[4]研究发现，波动率具有聚集现象，也就是对金融时间序列数据观测发现高或低波动率具有时段聚集的现象.而对常数波动率模型，显然也无法刻画波动率聚集现象.
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在B-S模型的基础上，Hull和White[5]构建了随机波动率模型，然而在该模型中，波动率可能会无限增大，这违背经济学基本原理，因为无限大的波动率可导致风险无限大，风险无限大的金融产品是没有价值的，因此其定价是没有意义的.Heston[6]构建了具有均值回归的随机波动率模型，该模型既可保证波动率是正的，也保证了随机波动率不会无限增大，并且通过引入相关系数来刻画杠杆效应问题.在上述模型基础上，Bates[7]应用S&P500的数据，研究了具有风险补偿因子的随机波动率模型.进一步，Pan[8]提出了具有弹性系数的随机波动率模型，而且也引入风险补偿因子.更多随机波动率模型的论述可参考Duffie[9].在金融研究领域，Heston模型已经被广泛地研究和应用，主要原因是该波动率模型能够很好描述波动率具有的一些性质：厚尾现象、波动率聚集、杠杆效应、波动率的微笑等.
综上所述，随机波动率模型不仅弥补了B-S模型的缺陷，而且理论和实证都表明该模型能更好地描述金融数据自身尖峰厚尾特征，并且具有很好的波动率预测能力，特别是长期波动率的预测.然而相对B-S模型，因为引入新的状态变量，并且该变量是不可观测的，导致在对冲和参数估计及衍生品定价方面相对比较困难.因此，本文将研究随机波动率模型的参数估计问题.
国内外已有一些学者研究了随机波动率模型的参数估计问题.在国内，吴鑫育等[10]基于有效重要性抽样方法研究随机波动率模型对于我国证券市场价格的影响，然而该文作者在结论中提出杠杆效应问题是否对我国证券价格产生影响有待研究.吴鑫育等[11]应用有效重要性抽样方法，引入双杠杆门限来研究随机波动率模型的非对称效应，即在随机波动率过程中引入一个外生随机变量来刻画波动率的动态行为.注意到，上述的参数估计将依赖于辅助核密度函数的选取，因此选取不当的辅助函数将影响到参数估计结果.郑挺国和左浩苗[12]基于极差转移机制构建了随机波动率模型刻画波动率结构变化的线性，他们的结论表明转移波动率模型更好的刻画熊市和牛市转移的机制问题.蒋祥林和王春峰[13]应用马尔科夫链蒙特卡洛方法(MCMC)研究随机波动率模型的参数估计.事实上，在国外，Kim等[14]和Jacquier等[15]也应用MCMC方法给出了随机波动率模型的参数估计.值得一提，Jacquier等人比较了极大似然估计，GMM算法，MCMC算法对于模型参数估计的有效问题.虽然在随机波动率模型中，即使波动率是隐含状态变量导致似然函数没有解析解，但是A¨ıt-Sahalia[16]通过对似然率的近似给出极大似然的估计.Huang和Yu[17]基于Laplace方法，通过对似然函数近似，给出随机波动率模型的有效参数估计.Durham[18]在Laplace方法基础上，应用光滑和过滤方法来改善似然率函数，从而给出随机波动率模型的参数估计.冯荣国[19]基于随机波动率模型，应用广义矩估计(GMM)方法[20]，研究了我国股市波动问题，他所使用的矩函数类似于Jacquier等[15]，而且也没有考虑杠杆效应问题.
近几年来，GMM算法已经得到广泛的应用，特别是在模型的参数估计.一个主要的原因是GMM只需给出矩函数，而高阶和自相关矩函数能很好地描述在随机波动率模型中的参数问题，从而能通过参数的估计值来判断波动率是否具有随机性[21-23]，这是识别波动率和杠杆效应的重要依据，因此拟将使用GMM方法对模型进行参数估计.
本文基于广义矩(GMM)方法给出随机波动率模型的参数估计，而后以欧式看涨期权为例，给出了期权定价的数值结果.根据Hansen[20]研究结果，一个主要的困难是求矩函数和相应的正交性问题，虽然Jacquier等[15]应用GMM算法来研究随机波动率模型的参数估计，然而该方法很难被延拓，如当引入相应的跳状态变量时，那么Jacquier等人方法就难于直接应用.而本文所采用的矩估计方法具有一定的普遍性和适用性，这也是本文的创新点.本文主要是通过微分算子二阶展开来估计矩函数，自相关函数和平方协方差函数.当选取合适的时间步长时，相应的所得估计矩函数误差非常的小.如在实证部分中，选取每周交易次数，那么相应的误差精度可达到4个有效数.同时，当引入其它状态变量时，仅需要改变微分算子的形式，而不改变相应的计算方法和代码，则可保持同样的误差精度.
4实证分析及应用
为了更好地统计分析，我们使用上证综合指数的周交易数据，使用周频率的数据是为了避免样本数据跳跃的问题[23]，时间从2000年1月7日到2016年12月31日，总的数据量为856个(数据来源于Wind资讯).为了统计方便，使用的价格是开盘价和收盘价的平均值.图1给出了上证指数和相应对数收益的图形.为了计算方便，使用了收益率乘以100，而且也设置时间步长为∆t=1/52年，隐含着一年52个交易日，年化平均收益率µ=6.48%.
从表1可以看出，随着矩函数个数的增加，相应的卡方值也增大.同时，从表1中数据可以看出，虽然在矩函数较少的情况下，回归速率α较大，也就是波动率具有更少的持续现象，归因于高的回归速率α值.根据Fouque等[32]的论述，具有高的回归速率值的标的物动态行为表现出更好的随机性，但是从参数的估计方差可得，高的回归速率所得均方差比较大，这隐含着参数估计结果可能不稳定.进一步，根据表1第4列的数据可看出，波动率的波动率是非零的，因此引入随机波动率模型是必要的.此外，观察表1中最后一列数据，发现当自协方差和自相关函数个数为30,40,50时，相应的卡方值没有明显的改变，然而考虑到参数估计的稳定性，本文将选择50个协方差和自相关函数，这个选择和Ait-Sahalia等[21]的选择是一样的.最后，当选择50个协方差和自相关函数时，相关系数ρ=−0.9193，因此可说明杠杆效应是非常明显的.
4.2随机波动率估计
在这一部分，使用重度取样粒子滤波器方法(SIR)给出随机波动率的估计，相应的算法可以参文献[33–35].根据Johannes等[35]的论述，SIR算法有三个方面的优势：
1)该算法比较容易理解而且也较容易修改相应的代码;
2)该算法对于大部分模型是有效的;
3)该算法比较容易引入其它的观察变量，如相应衍生品的价格.
因此，本文将使用SIS方法给出波动率的估计.
4.3衍生品定价
由于本文主要目的不是分析衍生品的定价，因此将选择简单的欧式看涨期权为例进行说明.根据Cheng等[36]的研究结果，可以得出在风险中性下的随机微分方程，并且所有模型的常数仅是做一个平移(也就是线性的变化)，而且该作者论述在模拟和实证分析中可以假设风险补偿为零，并不影响结果的分析.同时，在Chan等[37]文章中，分析利率衍生品定价问题时，他们也假设风险补偿因子为零.因此，为了简化说明，本文可直接假设风险补偿因子为零.
一般衍生品的定价方法有两类：一是偏微分方程方法，二是蒙特卡洛方法.注意到，由于波动率是随机的状态变量，因此相应的衍生品定价所满足的偏微分方程是二维的，而且具有交叉项，因此本质上计算比较困难.虽然已有一些计算方法可给出偏微分的数值计算，但是归咎于交叉项，可能在离散过程需要高阶的近似[38-40]，而且该偏微分方程在V=0处是退化的.这里值得注意，在计算衍生品相应的高维偏微分方程问题时，需要给出人工边界条件，而且随着维数的提高，相应的误差几何增长.另一方面，当波动率是高斯模型时，吴恒煜和陈金贤[41]应用特征函数方法给出期权定价的解析解;但是当随机波动率是非高斯模型时，相应的衍生品是没有显示解的，这时需要通过数值方法给出结果.因此高维和交叉项问题很少应用偏微分方程的方法给出衍生品定价.鉴于此，本文直接利用蒙特卡洛方法计算，这是因为蒙特卡洛方法误差不依赖维数的变化.
5结论
本文研究了随机波动率模型的参数估计.根据条件期望算子的定义及微分算子展开，给出了高阶矩函数的展开式并应用算子展开予以证明，同时也应用该方法给出相应的自协方差函数和自相关函数的表达式，并给出了有效的GMM估计方法.基于这些矩函数可得，随机波动率模型的参数能通过GMM算法给予识别，特别是自协方差函数能够识别波动率的随机性特征和相应的杠杆效应.应用上证综合指数，数值结果表明了当取50个矩函数时，相应的参数估计比较稳定，同时也提供了SIR算法估计隐含状态变量—随机波动率，所得估计结果很好解释了2008年的金融危机及2016年股灾的重大经济事件对波动率冲击的问题.最后，通过蒙特卡洛方法给出了不同到期日和内在价值看涨期权的价格.该数值结果很好的解释了期权价格本质问题，即时间价值和内在价值.
作为将来的研究，将依赖于本文的估计方法进一步研究杠杆的迷惑或杠杆的反馈效应，以及研究具有跳聚集现象的随机波动率问题.
