摘 要: 不定积分是高等数学中的重要内容，不定积分的计算也是高等数学教学中的难点。探讨不定积分中所蕴含的数学思维模式，结合教学实践与经验，给出不定积分教学中的切实可行的教学策略。
关键词: 不定积分; 思维模式; 教学; 策略
在高等数学学习中，一元函数积分学是高等数学内容中的重点与难点。不定积分又是积分学运算的基本工具，是积分学的基础。因此，不定积分的教与学就显得尤为重要。
一、不定积分中的数学思维
1. 不定积分概念与公式中的逆向思维
高等数学中求导或微分运算与不定积分是一种互逆运算，求不定积分与求导数( 微分) 是两种方向相反的思维模式。因此基本积分公式源自于基本求导公式的逆推，不定积分的换元法实质与复合函数求导是一回事，利用乘法求导公式可以得到不定积分的分部积分公式。已经先入为主的求导数( 微分) 的思维模式，熟悉而简单，因此求不定积分的逆向思维模式就多少会让初学者有一些不适应，陌生且有一点儿难度。
2. 凑微分法( 第一类换元法) 中的直觉思维
凑微分法的实质就是逆向运用函数的微分法则，其难点在于不定积分中的中间函数并未明确指明，因此将被积函数中哪一部分凑成微分，这需要直觉思维。学生要形成这种“见微知著”的直觉思维能力，除了要求学生思维敏捷、灵活之外，还需要借助经验、知识以及类比联想等方法的综合运用。在教学过程中，经常使用的方法就是引导并帮助学生归纳总结出常见的微分公式，从而逐步形成这种直觉思维能力。
3. 变量代换法( 第二类换元法) 与分部积分法中的转换思维
变量代换法的实质在于通过合适的变量代换，将复杂的被积表达式转化为简单的被积表达式( 关于新变量的，例如三角代换、根式代换等) 。借助于不定积分的分部积分公式，也可以将某些复杂的不定积分转化为较为简单的不定积分。原理虽然易于理解，但具体如何操作来实现思维过程则需要遵循一定的规律与技巧。
4. 归纳总结中的比较思维
凑微分法、变量代换法、分部积分法是不定积分计算的三种主要方法。教学过程中，如果能够有意识主动比较各种方法，会达到事半功倍的效果。例如两类换元法，虽然在形式上和使用步骤上有明显的区别，但它们的本质都是通过换元的技巧实现由繁变简的目的。又如分部积分法使用过程中通常会用到“凑微分”这个步骤，这和凑微分法有明显的区别: 凑微分法一般被积函数剩下的部分必须是中间函数的复合函数的形式。而分部积分法恰恰相反，凑微分之后，被积函数剩下的部分必须是另一类型函数的形式。
5. 解决问题中的定向思维
讲解完主要内容之后引导学生对不定积分的积分方法进行总结，可以使学生“举一反三”“触类旁通”，形成定向思维，从而提高解决问题的能力。求不定积分的主要方法: 凑微分法( 熟悉常用的微分公式) 、变量代换法( 例如根式代换、三角代换等) 、分部积分法( 使用类型及技巧) 。其他类型与方法: 有理函数的积分、万能代换等等。经过不断的归纳与总结，学生会对所学知识点有深入的理解，从而对这些新学的知识形成知识块，构成分层次的知识结构网络，形成知识体系，这样就将书本上的知识内容真正转化为自己的定向思维与智力。这才是真正意义上的“学懂”“学会”。
6. 一题多解中的发散思维
高等数学中培养发散思维能力，“一题多解”就是最常见的方式。不定积分相关问题与解决方法的特点，为实施“一题多解”提供了极大的可能。采用多种不同的方法分析思考并求解不定积分问题，不仅有利于将各种不定积分公式和方法融会贯通、灵活使用，有利于提升学生的学习兴趣、自信心以及解决问题的综合能力，同时也能在潜移默化当中拓宽思维想象空间，从而培养学生的发散思维能力。
二、不定积分的教学策略
1. 注重基本概念的讲解与梳理，适应逆向思维
在学习不定积分时，首先介绍原函数的概念，并先举一些简单例子强化原函数与不定积分之间的紧密联系，要着重强调它们是孪生兄弟，即 ∫f( x) dx = F( x) + C 与 F'( x) = f( x) 要在脑海中同时出现，给了原函数就会联想到不定积分，看到不定积分就会想到原函数。还有一点特别要对学生强调: 由于方法不同，原函数的表达式从形式上看往往不唯一，因此不定积分的结果看起来常常不唯一，这一点和绝大多数数学问题不一样，这就要求学生对不定积分计算结果的准确性要有正确的检验方法。
2. 注重启发式、探究式与分层次等教学方法的综合使用，培养转换思维能力
在导数计算中，只要熟悉导数概念与公式、导数的运算法则、各种类型的函数求导方法，就可以准确地求出导数或微分。不定积分尽管是微分的逆运算，但它的计算要比导数复杂得多，如果学生仅仅掌握不定积分的基本积分公式、运算法则与基本的积分方法，还远远不够，教学一开始不要对学生有过高期望，不要指望所有学生都能较容易地弄清计算不定积分的不同方法，要善于启发，坚持师生互动，由浅入深。
只要层层推进，由简单到复杂，就可以有效引导学生积极思考问题，激发他们学习的主动性，取得良好的教学效果。
3. 注重教与学中的观察、归纳与总结，提升直觉思维、比较思维和发散思维
学习不定积分，一定要多做题目，这很重要，但要学好不定积分，还必须学会发现规律，总结积分方法。教学中要正确引导他们学习和思考，要时常问问学生: 有没有其他思路，有没有更简单的计算方法等等，帮助他们归纳总结，从而有效提升不定积分的理解和计算能力。学生在学会基础的积分方法后，一定要问问他们有没有其他解题方法，通过交流与启发，少数同学会用其他计算方法。在讲解的过程中，要及时发现学生的长处与不足，帮助他们分析、总结、归纳，慢慢体会不定积分的计算技巧，从而为学好不定积分打好基础。
4. 注重不定积分习题课教学，锻炼定向思维，形成综合思维能力
习题课是高等数学教学十分重要的组成部分，既是学生对所学内容和知识的总结提高，更是学生的思维模式从感性上升到理性的质变。不定积分的习题课不仅仅是做些习题，更为重要的是通过习题课让学生进一步掌握不定积分的主要思想方法与常用解题思路。由于不定积分的内容多，方法灵活，许多不定积分还有多种解题方法。因此，通过习题课的训练，学生不单单会解基本题，更要学会多种方法综合使用，只有这样，才能较好较快地解决一些复杂的、综合的不定积分问题。在习题课的教学中要把学生作业中出现的问题分析、归纳，及时展示给大家，让他们明白出错的原因以及改正的方法。对作业中好的思路与方法要表扬与鼓励，并分享给大家，让更多同学受益。与此同时，习题课的内容一定要及时更新，适当引入考研真题与实际应用题，这样就可以从多个方面激发学生学习的积极性与主动性，帮助他们更好地掌握不定积分的思维模式与主要内容。
三、总结
作为高等数学不可或缺的组成部分，不定积分在教学中起着非常重要的作用。一方面可以传授给学生相关知识，另一方面也能够培养学生各种思维能力。不定积分本身的特点( 计算难度较大，有较强的灵活性与技巧性) 为教学既提供了机遇和平台，同时又设置了挑战与障碍。因此，必须努力用最优化的教学过程提升教学质量和教学效率。
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